КАК УЧИТЬ СИЛЬНЫХ ШКОЛЬНИКОВ В ОБЫЧНОМ КЛАССЕ?
Шноль Д.Э. (Москва, учитель математики ГОУ школы-интернат «Интеллектуал», dshnol@mail.ru)
Как учить сильных учеников, собранных в специализированный класс, более-менее понятно: изучать дополнительные темы, решать более сложные задачи по основным темам, делать упор на логическую и доказательную составляющую курса. Быть может, больших методических усилий требует обучение сильного ученика в обычном классе. Здесь учитель не может дать на уроке какой-то дополнительный теоретический материал (успеть бы со средними учениками изучить базу) или нестандартную задачу (то есть дать сильному ученику ее можно, но обсуждать решение все равно некогда). Что же делать? На наш взгляд есть возможность развивать математическую культуру сильного ученика, опираясь только на базовую программу. Для этого можно по-другому ставить задачи. Мы в нашей школе задачи с необычной постановкой вопроса называем «открытыми».
Для начала опишем коротко, как «устроена» традиционная школьная задача. Школьная задача состоит из данных и вопроса. Как правило, предполагается следующее: 1) данных достаточно, чтобы задачу решить, 2) среди данных нет лишних, 3) данные непротиворечивы, 4) ученик обладает достаточным объемом знаний (фактов и методов) для решения задачи. К таким классическим задачам, на наш взгляд, стоит добавить и «открытые» задачи, которые особенно интересны сильным ученикам. Опишем несколько типов таких задач и приведем соответствующие примеры.
1. Есть некоторые данные, что можно, а что нельзя найти по этим данным?
1.1. На отрезке АВ длиной 10 взяты точки С и D. M и N - середины отрезков АС и DВ. MN=6 см. Что можно найти из этих данных? А что нельзя?
1.2. В трапеции АВСD известны основания ВС=а, АD=b и длина высоты h. Диагонали пересекаются в точке К. Какие из следующих величин можно найти, исходя из этих данных: 1) Сторону АВ, 2) Диагональ АС, 3) Площадь треугольника АКD?
1.3. Про квадратичную функцию f(x)=ax2+bx+c известно, что f(0)= f(4)=3. Что можно сказать о ее:
1) коэффициентах,
2) вершине параболы (графика этой функции),
3) направлении ветвей параболы,
4) наличии нулей?
По нашему опыту такая необычная постановка вопроса одновременно трудна и интересна для школьников. Обсудим коротко, в чем особенность задач такого типа. В задаче 1.2. трапеция полностью не задана: задано «однопараметрическое семейство трапеций». В этом семействе стороны, диагонали и углы могут меняться, а площадь самой трапеции и площади треугольников, на которые ее разбивают диагонали, постоянны. Таким образом, задача направлена не на нахождение конкретной величины, о которой заранее известно, что ее можно найти, а на понимание, как устроено соответствующее «семейство трапеций». Такая же картина и в задаче 1.3., где мы имеем дело с семейством функций с некоторыми общими свойствами, а не с конкретной квадратичной функцией.
2. Задача типа: «найдите и докажите».
В четырехугольнике есть две пары соседних равных сторон (его иногда называют дельтоидом). Найдите и докажите его свойства.
Комментарий. В задаче такого типа нужно в прямом смысле рассмотреть данную фигуру (вглядеться в нее), потом выдвинуть правдоподобные гипотезы, а уж потом их доказывать. Получается мини-исследование в отличие от традиционной задачи, где авторы уже сообщили, что нужно доказывать и никаких гипотез выдвигать не нужно. Заметим, что в трудных задачах по геометрии с традиционным заданием «докажите», вглядываться и выдвигать гипотезы все равно нужно, но в обычном классе до таких задач руки не доходят.
3. Задача типа: задайте нужные данные.
3.1. Через точку проведены три прямые. Величины скольких углов нужно знать, чтобы можно было найти величины всех остальных углов. Обобщите задачу на случай n прямых.
3.2*. Дан кубический многочлен f(x)=ax3+bx2+cх+d , имеющий три корня. Сколько коэффициентов нужно знать, чтобы найти сумму квадратов его корней?
4. Задача типа: ослабьте условие в доказанном утверждении.
Есть известная формула: площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей. Для каких четырехугольников эта формула также верна?
5. Задача типа: придумайте задачу, имеющую данный ответ.
Такой тип задач хорошо использовать даже в алгебраических темах, где изучается конкретный алгоритм решения. Например:
Придумайте неравенство, решением которого является множество [-1;2).
Ясно, что разные ученики придумают разные неравенства (половина еще и с ошибкой). Получившиеся неравенства хорошо выписать на доске и интересно сравнивать. Для ученика же решить конкретное неравенство и создать свое неравенство с некоторым свойством – это совершенно разные по уровню сложности и увлекательности задачи.
Таким образом, изменение типа задач позволяет развивать и мотивировать сильных школьников в ситуации, когда изучение дополнительных тем со всем классом затруднительно.